report: discussion of algorithm

1 files changed, 20 insertions, 0 deletions

diff --git a/src/report/report.tex b/src/report/report.tex
index a2625be..b66b64a 100644
--- a/src/report/report.tex
+++ b/src/report/report.tex
@@ -263,6 +263,26 @@
 
 \clearpage
 
+\section{Детальный разбор алгоритма}
+Метод называется полунеявным, т.к мы отбросили слагаемое $\sum a_{nb} u_{nb}'$. Оно представляет собой неявное влияние поправки давления на скорость; поправки давления в соседних узлах могут изменять соседние скорости, тем самым также создавая поправку к скорости к рассматриваемой точке.
+
+Отбрасывание этого слагаемого было бы непозволительно, если бы оно приводило к получению неточных решений дискретных форм уравнений движения и неразрывности. Так получается, что решение, к которому сходится такой итерационный процесс, не содержит неточностей, вызванных отбрасыванием этого члена. В решении мы получаем поле давления такое, что поле скорости удовлетворяет уравнению неразрывности. Детали построения $p'$ не оказывают влияния на правильность решения.
+
+Рассмотрим теперь последнюю итерацию, после которой мы объявим сходимость. К этому моменту у нас уже есть, в результате всех предыдущих итераций, некоторое поле давления. Используя его как $p^*$, мы решим уравнения движения чтобы получить $u^*, v^*$. Из этого поля скорости, мы вычислим массовый расход $b$ для уравнения поправки давления. Так как это последняя итерация, значение $b$ будет практически нулевым на всех контрольных объёмах. Тогда, $p' = 0$ по всей сетке будет решением уравнения поправки давления, а значения $u^*, v^*$ будут являться правильными значениями компонент скорости. Поэтому тот факт, что $b$ устремляется в ноль говорит нам о полученном решении. И конечно, это решение никак не содержит отклонений вызванных аппроксимациями, использованными для $p'$, т.к мы по факту не используем $p'$ в последней итерации.
+
+Таким образом, массовый расход $b$ является полезным индикатором сходимости. Итерации следует продолжать, пока значение $b$ на всей сетке не станет достаточно малым.
+
+Учитывая всё вышесказанное, уравнение поправки давления можно рассматривать как лишь промежуточный алгоритм, который приводит нас к правильному полю давления, и не отклоняет от точного решения. Если итерационный процесс сходится, все алгоритмы для $p'$ будут приводить к одинаковому решению.
+
+Скорость сходимости, однако, зависит от этого алгоритма. Если мы отбросим слишком много слагаемых, то можем и вообще потерять сходимость.
+
+Алгоритм нахождения $p'$, используемый нами, также склонен приводить к расхождению процесса, если не использовать релаксацию. Достаточно будет задать коэффициент релаксации для $u^*, v^*$ около $0.5$. Для давления будем использовать $\alpha_p = 0.8$:
+
+\begin{equation}
+  p = p^* + \alpha_p \cdot p'
+\end{equation}
+
+
 \chapter{Результаты}
 Все результаты получены при $Re = 400$: