chore: add Makefile and report blueprint

3 files changed, 232 insertions, 0 deletions

diff --git a/.gitignore b/.gitignore
new file mode 100644
index 0000000..8ccb775
--- /dev/null
+++ b/.gitignore
@@ -0,0 +1,5 @@
+out
+src/report/*.aux
+src/report/*.log
+src/report/*.out
+src/report/*.toc
diff --git a/Makefile b/Makefile
new file mode 100644
index 0000000..a9b8612
--- /dev/null
+++ b/Makefile
@@ -0,0 +1,8 @@
+all: out/report.pdf
+
+out/%.pdf: src/report/%.tex
+	mkdir -p out
+	pdflatex --output-directory=out $<
+
+open: out/report.pdf
+	zathura $< &
diff --git a/src/report/report.tex b/src/report/report.tex
new file mode 100644
index 0000000..9e419d6
--- /dev/null
+++ b/src/report/report.tex
@@ -0,0 +1,219 @@
+\documentclass{article}
+
+\usepackage[utf8x]{inputenc}
+\usepackage[english,main=russian]{babel}
+\usepackage{graphicx}
+\usepackage[hidelinks]{hyperref}
+\usepackage{listings}
+\usepackage{amsmath}
+
+\author{Соколов Евгений Викторович}
+\title{Отчет по преддипломной практике \\  Численное моделирование течения в плоском канале}
+
+\begin{document}
+
+\maketitle
+\tableofcontents
+\newpage
+
+\section{Постановка задачи}
+\subsection{Схема течения}
+Рассматривается движение несжимаемой вязкой жидкости с постоянными характеристиками, такими как плотность $\rho$ и динамический коэффициент вязкости $\mu$. Считается, что поток двумерный и стационарный. На рисунке в безразмерных координатах приведена схема течения: основная струя и сопутствующие вихри. В качестве характерной длины в задаче выбрана полная высота канала, в дальнейшем обозначаемая как $H$. Здесь $l_c$ и $h_c$ — соответственно безразмерные длина и высота уступа, $L$ — безразмерная длина канала, $(1 − h_c)$ — безразмерная высота входного участка канала.  По определению $E_R = (1 − h_c)$.
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \caption{Схема течения}
+\end{figure}
+
+\subsection{Математическая постановка}
+Движение жидкости описывается системой нестационарных двумерных уравнений Навье-Стокса:
+
+\begin{equation}
+  \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0,
+\end{equation}
+\begin{equation}
+  \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{Re}(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}),
+\end{equation}
+\begin{equation}
+  \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = - \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{1}{Re}(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}),
+\end{equation}
+
+Здесь: $u$ и $v$ — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости соответственно; $p$ — давление; $Re$ — число Рейнольдса $Re = \rho U_a H/\mu$, где $U_a$ — среднемассовая скорость потока на входе в канал. Время и давление обезразмерены на комплексы $H/U_a$ и $\rho U_a ^ 2$ соответственно. Нестационарная форма записи уравнений (2) и (3) обусловлена использованием метода установления при построении стационарного решения задачи.  Считается, что в начальный момент времени жидкость покоится: $u = v = 0$. Затем на левой границе В4 интенсивность течения плавно нарастает до максимального значения по закону
+
+\begin{equation}
+  u(t, y) = 6f(t)(y - h_c)(1 - y) / (1 - h_c)^2,
+\end{equation}
+\begin{equation}
+  v = 0,
+\end{equation}
+
+где
+
+\[
+  f(t) =
+  \begin{cases}
+    0.5 (sin(0.5\pi(2t / t_m - 1)) + 1), & 0 \leq t \leq t_m, \\
+    1, & t_m < t.
+  \end{cases}
+\]
+
+На стенках канала (границы В1, В2, В3, В5) используются условия прилипания и непротекания. На выходе из канала В6 граничное условие имеет вид:
+
+\begin{equation}
+  \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
+\end{equation}
+
+Здесь необходимо иметь в виду, что в силу отсутствия точной информации о поведении решения на открытой границе В6 условие (6) следует рассматривать как приближенное. Это означает, что в процессе итерационного построения решения задачи, исходя из требования баланса массы во всей расчетной области, значения компонент u и v на каждой итерации подвергаются малой корректировке.
+
+\section{Метод решения}
+\subsection{Шахматная сетка}
+	Для реализации алгоритма используется шахматная сетка. Её особенностью является то, что она не обязательно рассчитывает все переменные в одних и тех же узловых точках (при желании можно использовать для каждой зависимой переменной свою сетку).
+	При расположении в шахматном порядке сетке составляющие скорости рассчитываются для точек, лежащих на гранях контрольных объемов. Таким образом, составляющая скорости $u$ вдоль оси $x$ рассчитывается на гранях, перпендикулярных направлению оси $x$.
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \caption{Шахматная сетка}
+\end{figure}
+
+Следует отмеитть, что по отношению к узловым точкам основной сетки точки, в которых определяются $u$, смещены только в направлении оси $x$.
+	Легко выбрать способ размещения узловых точек для составляющих $v$ и $w$. Ниже показана двумерная сетка, где узловые точки для $u$ и $v$ помещены на соответствующих гранях контрольных объёмов.
+
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \caption{двумерная сетка, где узловые точки для $u$ и $v$ помещены на соответствующих гранях контрольных объёмов}
+\end{figure}
+
+Прямым следствием введения шахматной сетки является то, что массовый расход через грани контрольного объема можно теперь определять без интреполяции соответствующей состовляющей скорости. Также имеются два важных преимущества: при использовании шахматной сетки только физические поля скорости могут удовлетворять уравнению неразрывности. Другое важное преимущество шахматной сетки заключается в том, что разность давлений между двумя соседними узловыми точками определяет составляющую скорости в точке, расположенной между этими узловыми точками.
+
+\subsection{Уравнения количества движения}
+Для расчёта коэффицента диффузии и массого расхода на гранях контрольного объема используется дискеретная формула:
+
+\begin{equation}
+  a_e u_e = \sum a_nb u_nb + b + (p_p - p_E)A_{e^*}.
+\end{equation}
+
+Уравнения количества движения можно решить только в том случае, если поле давления задано или каким-то образом найдено. Если при решении использовать неверное поле давления, найденное поле скорости не будет удовлетворять уравнению неразрывности. Выразим такое поле скорости, полученное с использованием приближенного поля давления $p^*$, через $u^*$, $v^*$.
+
+Это поле скорости находится в результате решения следующих уравнений:
+
+\begin{equation}
+  a_e u_e^* = \sum a_nb u_nb^* + b + (p_p^* - p_E^*)A_{e^*};
+\end{equation}
+\begin{equation}
+  a_n u_n^* = \sum a_nb u_nb^* + b + (p_p^* - p_N^*)A_{n^*};
+\end{equation}
+
+\subsection{Поправки скорости и давления}
+Найдём способ улучшения приближенного поля $p^*$ таким образом, чтобы результирующее поле скорости с каждой итерацией лучше удовлетворяло уравению неразрывности. Предположим, что истинное давление находится из соотношения:
+
+\begin{equation}
+  p = p^* + p',
+\end{equation}
+
+где $p’$ назовём поправкой давления. Аналогичным образом введём соотвествующие поправки составляющих скорости:
+
+\begin{equation}
+  u = u^* + u'; v = v^* + v';
+\end{equation}
+
+Вычитая (5.8) из (5.6) и отбрасывая добавочный член, получаем:
+\begin{equation}
+  a_e u_e' = (p_P' -p_E')A_e
+\end{equation}
+
+или
+
+\begin{equation}
+  u_e' = d_e(p_P' -p_E')
+\end{equation}
+
+где
+
+\begin{equation}
+  d_e \equiv A_e/a_{e^*}
+\end{equation}
+
+Эту формулу можно переписать и записать аналогичную поправочную формулу для второй составляющей скорости:
+
+\begin{equation}
+  u_e = u_e^* + d_e(p_P' - p_E')
+\end{equation}
+\begin{equation}
+  v_n = v_n^* + d_n(p_P' - y_N')
+\end{equation}
+
+
+\subsection{Уравнение для поправки давления}
+Преобразуем уравнение неразрывности в уравнение для поправки давления. Препдположим, что плотность непосредственно зависит от давления. Уравнение неразрывности имеет вид:
+\begin{equation}
+  \frac{\partial p}{\partial t} + \frac{\partial (pu)}{\partial x} + \frac{\partial (pv)}{\partial y} + \frac{\partial (pw)}{\partial z} = 0.
+\end{equation}
+
+Проинтегрируем его по заштрихованному контрольному объему:
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \caption{Контрольный объем}
+\end{figure}
+
+Предположим, что значение плотности во всем контрольном объеме равно $p_P$. Также будем считать, что значение массовой скорости на всей грани контрольного объема определяется значение составляющей скорости $u_e$ в точке $e$.
+
+\begin{equation}
+  TODO
+\end{equation}
+
+Если теперь вместо всех составляющих скорости подставить выражения из поправочных формул для скорости, то после группировки соответствующих членов получим следующее уравнение для сеточных значений $p’$:
+
+\begin{equation}
+  a_P p_P' = a_E p_E ' + a_W p_W ' + a_N p_N' + a_S p_S ' + a_T p_T ' + a_B p_B ' + b,
+\end{equation}
+
+где
+
+\begin{equation}
+ TODO
+\end{equation}
+
+
+\subsection{Алгоритм SIMPLE}
+SIMPLE (Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations) — полунеявный метод для связанных давлением уравнений.
+Последовательность операций:
+
+\begin{enumerate}
+  \item{Задание поля давления $p^*$}
+  \item{Решение уравнений движения для получения $u^*$, $v^*$}
+  \item{Решение уравнения для $p'$}
+  \item{Расчет $p$ путем добавления $p'$ к $p^*$}
+  \item{Расчет $u, v$ с учетом соответствующих значений со звездочкой и с помощью формул для поправки скорости}
+  \item{Решение дискретных аналогов для других Ф (таких как температура, концентрация и турбулентные характеристики), если они влияют на поле течение через физические свойства жидкости}
+  \item{Представление скорректированного давления $p$ как нового $p^*$, возвращение к пункту 2 и повторение всей процедуры до тех пор, пока не будет получено сходящееся решение.}
+\end{enumerate}
+
+Блок-схема:
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \caption{Блок-схема алгоритма SIMPLE}
+\end{figure}
+
+
+\section{Результаты}
+Компоненты скорости после распределения $(u, v)$:
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \caption{Компоненты скорости после распределения $(u, v)$}
+\end{figure}
+
+Картина течения на входе в канал:
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \caption{Картина течения на входе в канал}
+\end{figure}
+
+Вихревой след за ступенькой:
+\begin{figure}[h]
+    \centering
+    \caption{Вихревой след за ступенькой}
+\end{figure}
+
+Все результаты получены при $Re = 400$.
+
+\end{document}