feat: add missing formulas and fix references

1 files changed, 34 insertions, 14 deletions

diff --git a/src/report/report.tex b/src/report/report.tex
index 4790fd9..43d7428 100644
--- a/src/report/report.tex
+++ b/src/report/report.tex
@@ -23,8 +23,8 @@
 }
 
 \chapter{Введение}
-Исследование отрывных течений имеет важное значение как с фундаментальной, так и прикладной точек зрения. Примером подобного течения является движение несжимаемой вязкой жидкости в плоском канале с обратным уступом, в котором присутствуют как отрыв потока на кромке уступа с его последующим присоединением вниз по течению к нижней стенке канала, так и зона рециркуляции жидкости сразу же за уступом. Причем в зависимости от соотношения инерции течения и вязких сил таких зон рециркуляции и сопровождающих их точек отрыва и присоединения потока к стенкам канала может быть несколько. При этом задача характеризуется простотой геометрии и зависимостью решения, вообще говоря, всего от двух параметров: числа Рейнольдса $Re$ и параметра расширения потока $ER$, равного отношению полной высоты канала к высоте входного участка. Однако имеет место фактор, осложняющий задачу, — открытая выходная граница канала. Единая методология решения задач с открытыми границами, особенно для несжимаемых течений, до сих пор не создана, что и определяет общепринятую тактику локализации такой границы — чем она дальше от зоны основных возмущений потока, тем лучше.
-В силу вышеуказанных причин рассматриваемая задача является практически идеальной для тестирования и демонстрации возможностей новых вычислительных технологий, разрабатываемых для моделирования отрывных течений в полуоткрытых областях. Соответственно в литературе можно найти большое количество работ, посвященных изучению несжимаемых течений вязкой жидкости в плоском канале с обратным уступом в двумерном приближении. Большинство из них выполнено для чисел Рейнольдса, не превышающих $Re$ = 1000 (здесь и далее число Рейнольдса строится по полной высоте канала и среднемассовой входной скорости потока). Однако существует несколько публикаций, в которых стационарное решение задачи найдено для более высоких значений $Re$ , вплоть до 3000. И совсем немного статей посвящены задачам при значениях числа Рейнольдса меньше единицы вплоть до $Re$ = 10−4. Основной их целью было получение вихрей Моффатта у основания уступа, поскольку при столь низких значениях $Re$ эффект инерции потока пренебрежимо мал по сравнению с вязкими силами и, следовательно, в этом месте движение жидкости имеет чисто стоксовский характер.
+Исследование отрывных течений имеет важное значение как с фундаментальной, так и прикладной точек зрения. Примером подобного течения является движение несжимаемой вязкой жидкости в плоском канале с обратным уступом, в котором присутствуют как отрыв потока на кромке уступа с его последующим присоединением вниз по течению к нижней стенке канала, так и зона рециркуляции жидкости сразу же за уступом. Причем в зависимости от соотношения инерции течения и вязких сил таких зон рециркуляции и сопровождающих их точек отрыва и присоединения потока к стенкам канала может быть несколько. При этом задача характеризуется простотой геометрии и зависимостью решения, вообще говоря, всего от двух параметров: числа Рейнольдса $Re$ и параметра расширения потока $E_R$, равного отношению полной высоты канала к высоте входного участка. Однако имеет место фактор, осложняющий задачу, — открытая выходная граница канала. Единая методология решения задач с открытыми границами, особенно для несжимаемых течений, до сих пор не создана, что и определяет общепринятую тактику локализации такой границы — чем она дальше от зоны основных возмущений потока, тем лучше.
+В силу вышеуказанных причин рассматриваемая задача является практически идеальной для тестирования и демонстрации возможностей новых вычислительных технологий, разрабатываемых для моделирования отрывных течений в полуоткрытых областях. Соответственно в литературе можно найти большое количество работ, посвященных изучению несжимаемых течений вязкой жидкости в плоском канале с обратным уступом в двумерном приближении. Большинство из них выполнено для чисел Рейнольдса, не превышающих $Re = 1000$ (здесь и далее число Рейнольдса строится по полной высоте канала и среднемассовой входной скорости потока). Однако существует несколько публикаций, в которых стационарное решение задачи найдено для более высоких значений $Re$ , вплоть до 3000. И совсем немного статей посвящены задачам при значениях числа Рейнольдса меньше единицы вплоть до $Re = 10^{−4}$. Основной их целью было получение вихрей Моффатта у основания уступа, поскольку при столь низких значениях $Re$ эффект инерции потока пренебрежимо мал по сравнению с вязкими силами и, следовательно, в этом месте движение жидкости имеет чисто стоксовский характер.
 
 \chapter{Постановка задачи}
 \section{Схема течения}
@@ -42,14 +42,14 @@
 \begin{equation}
   \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0,
 \end{equation}
-\begin{equation}
+\begin{equation} \label{eq:ns2}
   \frac{\partial u}{\partial t} + u \frac{\partial u}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial y} = - \frac{\partial p}{\partial x} + \frac{1}{Re}(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}),
 \end{equation}
-\begin{equation}
+\begin{equation} \label{eq:ns3}
   \frac{\partial v}{\partial t} + u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial v}{\partial y} = - \frac{\partial p}{\partial y} + \frac{1}{Re}(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2}),
 \end{equation}
 
-Здесь: $u$ и $v$ — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости соответственно; $p$ — давление; $Re$ — число Рейнольдса $Re = \rho U_a H/\mu$, где $U_a$ — среднемассовая скорость потока на входе в канал. Время и давление обезразмерены на комплексы $H/U_a$ и $\rho U_a ^ 2$ соответственно. Нестационарная форма записи уравнений (2) и (3) обусловлена использованием метода установления при построении стационарного решения задачи.  Считается, что в начальный момент времени жидкость покоится: $u = v = 0$. Затем на левой границе В4 интенсивность течения плавно нарастает до максимального значения по закону
+Здесь: $u$ и $v$ — горизонтальная и вертикальная компоненты скорости соответственно; $p$ — давление; $Re$ — число Рейнольдса $Re = \rho U_a H/\mu$, где $U_a$ — среднемассовая скорость потока на входе в канал. Время и давление обезразмерены на комплексы $H/U_a$ и $\rho U_a ^ 2$ соответственно. Нестационарная форма записи уравнений \ref{eq:ns2} и \ref{eq:ns3} обусловлена использованием метода установления при построении стационарного решения задачи.  Считается, что в начальный момент времени жидкость покоится: $u = v = 0$. Затем на левой границе В4 интенсивность течения плавно нарастает до максимального значения по закону
 
 \begin{equation}
   u(t, y) = 6f(t)(y - h_c)(1 - y) / (1 - h_c)^2,
@@ -70,11 +70,11 @@
 
 На стенках канала (границы В1, В2, В3, В5) используются условия прилипания и непротекания. На выходе из канала В6 граничное условие имеет вид:
 
-\begin{equation}
+\begin{equation} \label{eq:boundary_condition}
   \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} = 0.
 \end{equation}
 
-Здесь необходимо иметь в виду, что в силу отсутствия точной информации о поведении решения на открытой границе В6 условие (6) следует рассматривать как приближенное. Это означает, что в процессе итерационного построения решения задачи, исходя из требования баланса массы во всей расчетной области, значения компонент u и v на каждой итерации подвергаются малой корректировке.
+Здесь необходимо иметь в виду, что в силу отсутствия точной информации о поведении решения на открытой границе В6 условие \ref{eq:boundary_condition} следует рассматривать как приближенное. Это означает, что в процессе итерационного построения решения задачи, исходя из требования баланса массы во всей расчетной области, значения компонент u и v на каждой итерации подвергаются малой корректировке.
 
 \chapter{Метод решения}
 \section{Шахматная сетка}
@@ -101,7 +101,7 @@
 \section{Уравнения количества движения}
 Для расчёта коэффицента диффузии и массого расхода на гранях контрольного объема используется дискеретная формула:
 
-\begin{equation}
+\begin{equation} \label{eq:momentum1}
   a_e u_e = \sum a_nb u_nb + b + (p_p - p_E)A_{e^*}.
 \end{equation}
 
@@ -109,7 +109,7 @@
 
 Это поле скорости находится в результате решения следующих уравнений:
 
-\begin{equation}
+\begin{equation} \label{eq:momentum2}
   a_e u_e^* = \sum a_nb u_nb^* + b + (p_p^* - p_E^*)A_{e^*};
 \end{equation}
 \begin{equation}
@@ -129,7 +129,7 @@
   u = u^* + u'; v = v^* + v';
 \end{equation}
 
-Вычитая (5.8) из (5.6) и отбрасывая добавочный член, получаем:
+Вычитая \ref{eq:momentum2} из \ref{eq:momentum1} и отбрасывая добавочный член, получаем:
 \begin{equation}
   a_e u_e' = (p_P' -p_E')A_e
 \end{equation}
@@ -172,7 +172,12 @@
 Предположим, что значение плотности во всем контрольном объеме равно $p_P$. Также будем считать, что значение массовой скорости на всей грани контрольного объема определяется значение составляющей скорости $u_e$ в точке $e$.
 
 \begin{equation}
-  TODO
+\begin{split}
+  \frac{(p_P -p_P^0)\Delta x \Delta y \Delta z}{\Delta t} +
+  [(pu)_e - (pu)_w]\Delta y \Delta z +
+  [(pv)_n - (pv)_s]\Delta z \Delta x + \\
+  [(pw)_t - (pw)_b]\Delta x \Delta y = 0
+\end{split}
 \end{equation}
 
 Если теперь вместо всех составляющих скорости подставить выражения из поправочных формул для скорости, то после группировки соответствующих членов получим следующее уравнение для сеточных значений $p’$:
@@ -183,9 +188,24 @@
 
 где
 
-\begin{equation}
- TODO
-\end{equation}
+\[
+\begin{split}
+  \begin{cases}
+  a_E = p_e d_e \Delta y \Delta z; a_W = p_w d_w \Delta y \Delta z; a_N = p_N d_n \Delta z \Delta x; \\
+  a_S = p_s d_s \Delta z \Delta x; a_T = p_t d_t \Delta x \Delta y; a_B = p_b d_b \Delta x \Delta y; \\
+  a_P = a_E + a_W + a_N + a_S + a_T + a_B; \\
+  \end{cases}
+\end{split}
+\]
+
+\[
+\begin{split}
+  b = \frac{(p_P -p_P^0)\Delta x \Delta y \Delta z}{\Delta t} +
+  [(pu^*)_e - (pu^*)_w]\Delta y \Delta z + \\
+  + [(pv^*)_n - (pv^*)_s]\Delta z \Delta x +
+  [(pw^*)_t - (pw^*)_b]\Delta x \Delta y.
+\end{split}
+\]
 
 
 \section{Алгоритм SIMPLE}